📝 Suites numériques — résumé complet

📘 Suites numériques — cours complet (Mathématiques 2)

🔹 Introduction

En Mathématiques 2, les suites numériques sont essentielles pour comprendre l’évolution d’une suite de nombres et pour préparer l’étude des séries infinies. Elles permettent d’analyser la convergence ou divergence d’une suite.

🔹 Définition d’une suite numérique

Une suite est une fonction définie sur ℕ à valeurs réelles ou complexes. On note :

u₀, u₁, u₂, …, uₙ, …

Chaque terme uₙ dépend de son rang n. On peut définir une suite par une formule explicite ou par récurrence.

🔹 Types de suites

1️⃣ Suite arithmétique

Une suite arithmétique vérifie :

uₙ₊₁ = uₙ + r

r est la raison de la suite.

2️⃣ Suite géométrique

Une suite géométrique vérifie :

uₙ₊₁ = uₙ × q

q est la raison de multiplication.

3️⃣ Suite définie par récurrence

Chaque terme dépend des termes précédents selon une formule :

uₙ₊₁ = f(uₙ)

🔹 Convergence d’une suite

Une suite (uₙ) converge vers L si :

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N : |uₙ − L| < ε

Sinon, la suite diverge.

🔹 Exemples

1️⃣ Suite arithmétique

u₀ = 2, r = 3 → u₁ = 5, u₂ = 8 … Cette suite diverge vers +∞.

2️⃣ Suite géométrique

u₀ = 1, q = 1/2 → u₁ = 1/2, u₂ = 1/4 … Cette suite converge vers 0.

3️⃣ Suite par récurrence

u₀ = 1, uₙ₊₁ = uₙ/2 → converge vers 0.

🔹 Suites bornées et monotones

• Une suite est bornée si ∃M>0 : |uₙ| ≤ M ∀n
• Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante
• Une suite monotone et bornée converge toujours

🔹 Résumé rapide

• Une suite numérique = fonction sur ℕ
• Arithmétique → ajout constant, Géométrique → multiplication constante
• Convergence = approche d’une valeur limite
• Suites monotones et bornées → convergent

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