📝 Séries numériques — résumé complet

Séries numériques : résumé complet avec méthodes de convergence

Les séries numériques constituent un chapitre fondamental en Mathématiques 2. Elles permettent d'étudier la somme d'une suite infinie et de déterminer si cette somme converge ou diverge.

🔷 Définition d'une série numérique

Soit une suite numérique (u_n). La série associée est :

∑ u_n

On étudie la convergence de la suite des sommes partielles :

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n

• Si S_n converge → la série converge
• Sinon → la série diverge

🔷 Condition nécessaire de convergence

Si la série ∑u_n converge, alors :

lim u_n = 0

⚠️ Attention : cette condition est nécessaire mais pas suffisante.

🔷 Séries géométriques

Une série géométrique est de la forme :

∑ arⁿ

📌 Critère

• Si |r| < 1 → la série converge
• Si |r| ≥ 1 → la série diverge

Somme :

S = a / (1 − r)

🔷 Séries à termes positifs

1️⃣ Critère de comparaison

Si 0 ≤ u_n ≤ v_n et ∑v_n converge ⇒ ∑u_n converge.

2️⃣ Critère de d'Alembert (rapport)

L = lim |u_n+1 / u_n|

• Si L < 1 → convergence
• Si L > 1 → divergence
• Si L = 1 → test indécis

3️⃣ Critère de Cauchy (racine)

L = lim sup √[n]{|u_n|}

• Si L < 1 → convergence
• Si L > 1 → divergence

🧪 Exemple corrigé

Étudier la convergence de :

∑ (1 / n²)

✅ Solution

C'est une série de Riemann avec α = 2 > 1 ⇒ la série converge.

🎯 Conseils pour réussir

• Vérifier d'abord la limite de u_n
• Identifier le type de série
• Choisir le bon critère
• Bien rédiger la conclusion

✅ Conclusion

La maîtrise des séries numériques est essentielle en Mathématiques 2. Elle permet d'analyser la convergence des sommes infinies et prépare à l'étude des séries de fonctions.

---

📚 Articles recommandés :

• Suites numériques — résumé complet
• Limites des fonctions — résumé complet